Расстояние между прямыми. Расстояние между параллельными плоскостями
Опубликованно 27.06.2019 07:05
Прямые и плоскости являются двумя наиболее важными геометрическими элементами, с помощью которых вы можете строить различные типы фигур двух измерений и трех измерений пространства. Рассмотрим, как найти расстояние между прямыми и параллельными плоскостями. Математические работы
Школы геометрии известно, что в декартовой системе координат прямую, можно определить следующим образом:
y = k*x + b.
Где k и b представляют собой ряд параметров. Сохранена форма представления прямой на плоскости плоскость, параллельную оси z в трехмерном пространстве. По этой причине, в этой статье, здравоохранение и работы, прямой используем более удобный и универсальный виде вектора.
Предположим, что наше право-это параллельный вектор u(a, b, c) и проходит через точку P(x0, y0, z0). В этом случае в векторной форме уравнения будет представлена следующим образом:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + ?*(a, b, c).
Здесь ?-любое число. Если явно представить координаты, показывая, записано выражение, мы получаем параметрическую форму записи в прямом эфире.
С векторные уравнения удобно работать с помощью различных задач, в которых необходимо определить расстояние между прямыми параллельными. Прямой и расстояния между ними
Говорить о расстоянии между прямыми имеет смысл только тогда, когда они параллельны (в случае трех измерений, существуют также значение, отличное от нуля расстояние между скрещивающимися). Если прямые пересекаются, то очевидно, что они находятся на нулевом расстоянии друг от друга.
Расстояние между параллельных прямых, называется длина, соединяющий перпендикулярно. Чтобы определить этот показатель, достаточно выбрать произвольную точку на одной из прямых и опустить перпендикуляр к другой.
Кратко описать процедуру, чтобы найти расстояние. Предположим, что нам известны векторные уравнения двух прямых, которые представлены в следующем общем виде:
(x, y, z) = P + ?*u;
(x, y, z) = Q + ?*v.
Мы построим параллелограмм на этих прямых так, что одна из сторон будет PQ, а второй, например, в u. очевидно, что высота этой части, проведенной из точки P, длина искомого перпендикуляра. Чтобы найти его, вы можете использовать простую формулу:
d = |[PQ*u]|/|u|.
Так как расстояние между параллельных прямых, называется длина перпендикуляра-отрезок между ними, в зависимости от записанного выражения, достаточно найти модуль векторного произведения PQ и u, и разделить результат на длину вектора u. Пример задачи на определение прямой расстояние между
Заданы две прямые следующих векторных уравнений:
(x, y, z) = (2, 3, -1) + ?*(-2, 1, 3);
(x, y, z) = (1, 1, 1) + ?*(2, -1, -3).
Фразы, написанные увидел, что у нас есть две параллельные прямые. Действительно, если умножить на -1 координаты направляющей вектор прямой, вы получите координаты руководства вектора второй справа, что указывает на их параллельности.
Расстояние между параллельные прямые, рассчитать, используя сохраненный в предыдущем пункте статьи формулы. У нас есть:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1) => PQ = (-1, -2, 2);
u = (-2, 1, 3).
Итак, мы получаем:
|u| = ?14 см;
d = |[PQ*u]|/|u| = ?(90/14) = 2,535 посмотреть
Обратите внимание на то, что вместо точки P и Q, чтобы решить проблему, вы можете использовать абсолютно все точки, принадлежащие данным прямым. При этом, мы бы то же расстояние d. План работы в геометрии
Выше был рассмотрен подробно вопрос о расстоянии между прямыми. Сейчас покажу вам, как найти расстояние между параллельными плоскостями.
Каждый из них представляет, что такое план. В зависимости от математического определения указанной геометрии-это набор точек. И если сделать все виды вектора с помощью этих очков, они будут перпендикулярны один вектор. Последний можно назвать по нормали к плоскости.
Чтобы определить уравнение плоскости в трехмерном пространстве используются для виде уравнения. Она имеет такой вид:
A*x + B*y + C*z + D = 0.
Где большие буквы-это некоторые числа. Очень удобно пользоваться этим видом уравнения плоскости, потому, что он четко определяются координаты вектора нормали. Они равны A, B, C.
Легко понять, что две плоскости параллельны, но только тогда, когда нормали параллельны. Как найти расстояние между двумя параллельными плоскостями ?
Для того, чтобы определить расстояние, указанное, важно понимать, о чем идет речь. Расстояние между планы, которые взаимно параллельны, понять длину перпендикулярно их резки. Концы отрезка принадлежат планы.
Алгоритм решения этих задач является простой. Для этого необходимо найти координаты любой точки, которая принадлежит к одной из двух схем. Затем, следует использовать такую формулу:
d = |A*x0 + B*y0 + C*z0 + D|/?(A2 + B2 + C2).
Потому что расстояние-это значение положительно, то числитель является знаком модуля. Записанная формула является универсальной, поскольку она позволяет вычислить расстояние от плоскости любой тип геометрии. Достаточно просто знать координаты точки этого элемента.
Для полноты информации отметим, что если нормальная две плоскости взаимно не параллельны, то такие плоскости пересекаются. Расстояние между ними будет равна нулю. Задача определения расстояния между плоскостями
Известно, что две плоскости определяются следующими выражениями:
y/5 + x)/(-3) + z/1 = 1;
-x + 3/5*y + 3*z – 2 = 0.
Необходимо доказать, что плоскости параллельны, а также определить расстояние между ними.
Чтобы ответить на первую часть задачи, необходимо первое уравнение привести к форме. Обратите внимание на то, что он дал в себя в виде уравнения в отрезках. Умножим левую и правую части, 15 и перенесем все члены в одну сторону равенства, получаем:
-5*x + 3*y + 15*z – 15 = 0.
Обратите внимание, координаты двух векторов, нормальных планов:
n1 = (-5, 3, 15);
n2 = (-1, 3/5, 3).
Видно, что если n2 умножить на 5, то мы получим координаты n1. Таким образом, рассматриваемые плоскости параллельны.
Чтобы вычислить расстояние между параллельными плоскостями, мы выбираем произвольную точку первого из них, и мы пользуемся ранее формулы. Например, возьмем точку (0, 0, 1), принадлежит на первый план. Итак, мы получаем:
d = |A*x0 + B*y0 + C*z0 + D|/?(A2 + B2 + C2) =
= 1/(?(1 + 9/25 + 9 )) = 0,31 посмотреть
Искомое расстояние 31 мм Расстояние между план и право
Предоставленные теоретические знания позволяют также решить проблему определения расстояния между прямой и плоскостью. Выше отмечалось, что формула только для расчетов между плоскостями, является универсальной. Она также может быть использовать для решения проблемы. Для этого просто выберите любую точку, которая принадлежит заданной прямой.
Основной проблемой при определении расстояния между этими геометриями доказательства их параллельности (если это не так, то d=0). Параллельность-это легко доказать, если вычислить скалярное произведение нормали и направляющего вектора для прямой. Если элементы параллельны, то это произведение будет равно нулю.
Валерий Савельев
Категория: Культура
