Дискриминантный анализ: примеры решения уравнений

Опубликованно 29.09.2018 04:00

Существует несколько способов решения уравнений является квадратной, однако, использование формулы, которая связывает коэффициенты уравнения по имени тип, который является универсальным. Этот метод часто называют методом "с использованием дискриминантного анализа". Примеры решения квадратных уравнений с помощью нее приведен в этой статье. Они должны знать каждый старшеклассник. Квадратные уравнения

Примеры включают в себя дискриминант решение уравнений квадратных. Такие уравнения имеют вид, показанный на фото ниже.

Здесь A, B и C-некоторые коэффициенты (числа), которые называют квадратичной, линейной и свободных членов, соответственно. Если известны значения x, такие, при которых равенство на фото правда, потом говорят, что они являются корнями этого уравнения.

Как вы можете видеть, это уравнение называется квадратичной, потому что "2" - это максимальная степень, в которой х строится. Если a = 0, то уравнение становится линейным.

Поскольку максимальная степень уравнения два, то там может быть только 0, 1 или 2 корня, которые будут принимать действительное числовое значение.

Решить названные уравнения, можно использовать несколько методов. Однако, самый простой и самый надежный из них-применение формулы с дискриминантом. Какую формулу нужно использовать?

Метод формулы решения уравнений через дискриминант квадратных пишется, как показано на рисунке ниже.

Вы можете увидеть, что его использование требует знания всех трех коэффициентов уравнения, а знак " ± " перед корнем, говорит о том, что формула позволяет найти одновременно два различных корня.

Подкоренное выражение называют дискриминантом. Это обычно обозначается греческой буквой D или ?. Почему выделяю эту часть в Формуле? Тот факт, что знак D зависит от того, сколько корней будет иметь соответствующее уравнение, и каковы они.

Так, Если D является положительным, то данное выражение в двух различных решений уравнения в квадрат, если d отрицательно, то нет действительных чисел, которые удовлетворяли бы исходное равенство. В этом случае мы говорим о мнимых корней, выраженная в форме комплексных чисел. Наконец, если d = 0, Формула обуславливает существование единого корня.

Важные свойства корней метод "через дискриминант"

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретные примеры уравнений с дискриминантом, необходимо отметить два важных свойства корней, полученных решит использовать эту формулу.

Первое свойство заключается в том, что их сумма равна (х1 + х2) равен коэффициенту линейного коэффициента (б) в первое или квадратичный коэффициент (а), взятое с обратным знаком, т. е. б/у.

Второе свойство заключается в том, что продукт Х1 * х2 всегда равно отношению свободного слагаемого (с) Первый коэффициент (a), то есть с / у.

Этих равенств, связывающие корни уравнения с его коэффициентами являются так называемые теоремы Виета.

Заметим, что эти формулы справедливы для любого уравнения площади (в том числе неполные, то есть от B и/или C равен нулю).

Далее в этой статье обсудим используя формулу с дискриминантом квадратного уравнения в примерах, которые будут сформулированы в качестве задач, имеющих практическое значение. Проблема # 1. Произведение и сумма чисел

Первый пример уравнения с дискриминантом является следующее: Вы должны назвать два числа, сумма которых равна 34 и 273.

Согласно условию задачи, составим систему уравнений, обозначив два неизвестных значений х1 и Х2. Получил:

х1 + х2 = 34

х1 * х2 = 273.

Выражая х2 х1 в первое уравнение и подставив его во второе, имеем: (34 -х1) * х1 = 273. Раскрывая скобки, мы получим: (х -1)2 - 34 * х1 + 273 = 0. То есть, задача сводится к решению квадратного уравнения.

Решить этот пример по формуле с дискриминантом Д = (-34)2 - 4 * 1 * 273 = 64. Оказалось удобным, чтобы вычислить квадратный корень из числа. Решения этого уравнения будут иметь вид: х1 = (34 ± ?64) / 2 = (21; 13). Каждый из полученных чисел x1 подставляем в первое уравнение системы, получим: х2 = (34 - 21 = 13; 34 - 13 = 21).

Таким образом, только одна пара чисел (13 и 21) удовлетворяет уравнению. Потому что сумма, которую мы уже проверили, проверим продукта: 13 * 21 = 273. Задание №2. Составление и решение уравнений по заданному условию

В следующем примере формула с дискриминантом также будут обязаны бороться с ней. Таким образом, условие формулируется следующим образом: найти число, которого дважды превышает его площадь на 45. Написана на языке математики это условие: 2 * х2 - х = 45. То есть, опять-таки, проблема сводится к поиску неизвестного х в квадратном уравнении.

Мы перенесем все члены в левую часть равенства и вычислите дискриминант: Д = 1 - 4 * 2 * (-45) = 361. Корень из этого числа будет равна 19. Таким образом, решениями уравнения являются числа: x = (1 ± 19) / (2 * 2) = (5; -4,5).

Проверим этот результат: 2 * 52 = 50, что, несомненно, превышает число 5 на 45; 2 * (-4,5)2 = 40,5, это число также удовлетворяет условию (40,5 - (-4,5) = 45). Задание №3. Определение сторон прямоугольного треугольника

Еще один пример с дискриминантом квадратного уравнения является следующая проблема: известно, что разность двух сторон прямоугольника равна 70 см, надо найти его стороны, если диагональ цифра равна 130 см

Условие задачи позволяет составить систему из двух уравнений:

х1 - х2 = 70

(х1)2 + (х2)2 = 1302.

Здесь x1 и X2 является неизвестная сторона прямоугольника. Объяснить, где второе уравнение. Поскольку диагональ прямоугольника образует две стороны треугольника с одним углом 90о, его стороны, которая равна х1 и Х2ноги, так что вы можете использовать свои связи с диагональ гипотенузы (теорема Пифагора).

Выражая из первого уравнения, х2, подставив его значение во второе уравнение, и раскрывая скобки, получаем: 2 * (х -1)2 - 140 * х1 - 12 000 = 0. Решить этот классический квадратное уравнение: Д = (140)2 - 4 * 2 * (-12 000) = 115600. Используйте калькулятор позволяет вычислить квадратный корень из этого числа, она равна 340. Корни этого уравнения равны: х1 = (140 ± 340) / 4 = (120; -50). Отрицательное число может быть проигнорировано, поскольку стороны прямоугольника - плюс.

Подставляя х1 = 120 см в первое уравнение системы, получаем, что X2 = 50 см.

Таким образом, неизвестную сторону прямоугольника равна 120 см и 50 см. Задание №4. Двух мотоциклистов

Ниже приведен пример уравнения, используя дискриминант, связанные с решением проблемы о двух мотоциклистов. Известно, что каждый из них шел к другому. Первоначальное расстояние между ними было равно 130 км, один со скоростью 30 км/ч, а другой ехал со скоростью 33 км/ч больше, чем количество часов, через которое они встретились. Нужно найти время, чтобы встретиться с мотоциклистами.

Обозначим неизвестное время t. Из условия задачи следует, что скорость второго всадника был равен 33 + т. Перед встречей каждый всадник проехал 30 * т, а (33 + т) * т. Очевидно, что в момент встречи оба автомобиля преодолели общее расстояние в 130 км (см. постановку задачи). Тогда мы получим уравнение: 30 * т + (33 + Т) * Т = 130. Раскрывая скобки, мы получим следующее: Т2 + 63 * Т - 130 = 0. Вычисленная в данном примере дискриминант: Д = (63)2 -4 * 1 * (-130) = 4489. Корень равняется 67. Значения T, которые удовлетворяют уравнения равны: Т = (-63 ± 67) / 2 = (2; -65). Поскольку время не может быть отрицательным, получаем ответ: всадники встретятся через 2 часа. Задание №5. Арендовать лодку с группой молодых людей

Завершить эту статью я хотел бы примером и решение с помощью дискриминанта одна интересная проблема: несколько молодых людей решили арендовать яхту за 14 000 рублей. Они эту сумму делят на всех. Однако, в последний момент три человека отказались ехать на лодке, поэтому каждому из оставшихся пришлось заплатить 1500 рублей. Сколько людей хотели арендовать яхту в первую очередь?

Пусть первоначально было х молодых людей. Затем каждый из них должен уплатить сумму 14000 / х рублей. Как только три человека отказались плыть, последняя сумма для каждого оставшегося равным 14000 / (х-3). Поскольку последняя сумма увеличивается по сравнению с исходным одного человека составляет 1500 рублей, мы можем сделать это уравнение: 14000 / (х-3) - 14000 / х = 1500.

Мы приводим это уравнение к квадратному. Имеем: 14000 * х - 14000 * х + 14000 * 3 = 1500 * х * (х-3). Раскрыв скобки и упростив выражение, мы получаем: 1500 * х2 - 4500 * х - 42 000 = 0. Разделив обе части равенства на 1500, получаем выражение: х2 - 3 х - 28 = 0. Решить этот пример с помощью дискриминанта: Д = 9 - 4 * 1 * (-28) = 121. Тогда х = (3 ± 11) / 2 = (7; -4).

Таким образом, изначально группа молодых людей состояла из 7 человек. Автор: Валерий Савельев 24 сентября, 2018

Категория: Культура