Сумма бесконечной геометрической убывающей прогрессии, а сумма их квадратов

Опубликованно 21.11.2018 23:00

Геометрическая прогрессия-это один из самых интересных числовых рядов, которые рассматриваются в школьном курсе алгебры. Данная статья посвящена конкретном случае упомянутого диапазона: снижение бесконечная геометрическая прогрессия и сумма ее членов. Какого числа он будет?

Геометрическая прогрессия называется одномерной последовательности действительных чисел, которые связаны друг с другом следующим соотношением:

а2 = а1*р, а3 = а2*р, а4 = а3*р, ...., ап = ап-1*р

Обобщающее выражение Выше, мы можем написать следующие равенства:

ан = а1*рн-1

Как понятно из записи, чтоН - это элемент прогрессии Н. Параметр R, который следует умножить на N-1 элемент n-го, называется знаменателем.

Каковы свойства описанной последовательности? Ответ на вопрос зависит от величины и знака Р. У вас есть следующие варианты: Знаменатель Р положителен и больше 1. Прогрессии в этом случае будет всегда увеличение величина, абсолютная величина его членов может уменьшиться, если1 - отрицательное. Знаменатель Р отрицателен и больше 1. В этом случае члены прогрессии будут появляться с чередованием знака (+ и -). Эти строки мало интереса для практики. Модуль знаменателя R не превышает 1. Эта серия называется убывающей, независимо от знака Р. Эта прогрессия представляет большой практический интерес, она будет обсуждаться в этой статье.

Формула для суммы

Начну выражение, которое будет вычислять сумму произвольного числа элементов данного прогрессии. Давайте начнем решать эту проблему в лоб. Имеем:

Сн = а1+а2+а3+..+АН

Учитывая уравнение можно использовать, если вы хотите, чтобы вычислить результат для небольшого числа членов (3-4 срока), каждый из которых определяется по формуле N-ый срок (см. предыдущий параграф). Однако, если условий много, в лоб является неудобной и может ошибаться, так что используйте специальную формулу.

Обе части равенства выше, умножить на R, то получим:

р*рн = р*а1+р*а2+р*а3+..+р*ВН = в2+а3+а4+...+АН+1

Теперь вычтите пары левые и правые части этих двух выражений, имеем:

Р*СН - СН = в2+а3+а4+...+ап+1 - (а1+а2+а3+..+ап) = ап+1 - а1

Выражая сумма sн и используя формулу дляП+1, мы получаем:

Сн = (ап+1 - а1)/(р-1) = в1*(рн - 1)/(р-1)

Таким образом, мы получили общую формулу для суммы первых n условия данного вида серийный номер. Заметим, что формула справедлива, если Р?1. В последнем случае есть простой серии одинаковых чисел, сумма которых рассчитывается как произведение одного числа и количества. Как найти сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии?

Чтобы ответить на этот вопрос, следует напомнить, что серия убывает при |р|<1. Использовать полученную в предыдущем параграфе формулу для Sи N:

Сн = в1*(рн - 1)/(р-1)

Обратите внимание, что любое число, модуль меньше 1, при возведении в значительной степени стремится к нулю, что является Р?->0. Чтобы проверить этот факт в любом примере:

Р = -1/2, тогда (-1/2)**10 ? 9,7*10-4, (-1/2)**20 ? 9,5*10-7 и так далее.

Установив этот факт, мы отмечаем выражение для суммы: при n ->?, то он будет переписан следующим образом:

С? = в1*(р? - 1)/(р-1) = а1/(1-р)

Это интересный результат: сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии стремится к конечному числу, которое не зависит от числа слагаемых. Она определяется только первым членом и знаменателем. Обратите внимание, что знак суммы однозначно определяется признаком1, поскольку знаменатель-положительное число (1-Р>0). Сумма квадратов бесконечной геометрической прогрессии уменьшается

Название пункта определяет задачу, которую следует решить. Для этого мы используем технику, которая полностью аналогична той, что используется для вывода общей формулы СН. Есть первое выражение:

Мн = а12 + а22 + а32 + ... + ап2

Умножим обе части равенства на R2, записать второе выражение:

Р2*мн = р2*а12 + р2*а22 + р2*а32 + ... + р2*ВН2 = а22 + а32 + а4а 2 ... + АН+12

Теперь находим разницу этих двух уравнений:

Р2*мн - мн = а22 + а32 + а4а 2 ... + ап+12 - (а12 + а22 + а32 + ... + ан2) = ап+12 - а12

Экспресс мн а используем формулу для n-го элемента, мы получим равенство:

Мн = (ап+12 - в12)/(р2-1)=а12*(р2л-1)/(Р2-1)

В предыдущем параграфе было показано, что r? -> 0, тогда окончательная формула будет выглядеть так:

М? = а12*/(1-р2) Сравнение двух сумм, полученных

Сравните две формулы: для бесконечных сумм, и бесконечные суммы квадратов следующие цели: сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 2, мы знаем, что мы говорим о нисходящей последовательности, для которых знаменатель равен 1/3. Вам нужно найти бесконечную сумму квадратов чисел.

Воспользуемся формулой для суммы. Выразить1:

С? = а1/(1-р) = а1 = С?*(1-р)

Подставим это выражение в формулу для суммы квадратов, мы имеем:

М? = а12*/(1-р2) = С?2*(1-р)2/(1-р2) = С?2*(1-р)/(1+р)

Мы получили необходимую формулу, теперь мы можем подставить известные данные:

М? = с?2*(1-р)/(1+р) = 22*(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Таким образом, мы получаем для бесконечной суммы квадратов то же значение, что из простой суммы. Отметим, что этот результат справедлив только для этой задачи. В общем случае M? ? с?. Задача на вычисление площади прямоугольника

Каждому студенту известно, формулой S = А * B, которая определяет площадь прямоугольника через него. Немногие знают, что задача нахождения площади этой фигуры может быть легко решена, если мы используем сумма бесконечной геометрической прогрессии. Показать, как это делается.

Мысленно разделите прямоугольник пополам. Площадь одной из половинок возьмем за единицу. Теперь разделите вторую половину еще пополам. Получаем две половинки, одну из которых разделить пополам. Эта процедура будет продолжаться бесконечно (см. рисунок ниже).

В конце концов, площадь прямоугольника в выбранных единицах будет равен:

С? = 1+1/2+1/4+1/8+...

Видно, что эти слагаемые-элементы номер строки, в которой1 = 1 и R = 1/2. Используя формулу для бесконечной суммы, мы получим:

С? = 1 /(1-1/2) = 2

В выбранном масштабе половина прямоугольника (одна единица) соответствует области а*б/2. Это означает, что площадь прямоугольника равна:

С? = 2*А*Б/2 = А*Б

Результат налицо, тем не менее, он показал, как можно применить убывающей прогрессии при решении задач в геометрии. Автор: Валерий Савельев 9 октября 2018

Категория: Культура