Вычислить угол между прямыми на плоскости и в пространстве: формулы

Опубликованно 19.12.2018 19:15

Типичная геометрическая задача-найти угол между прямыми. На плоскости, если известно уравнение линии, можно проследить и измерить угол, транспортир. Тем не менее, этот метод является трудоемким и не всегда возможно. Чтобы узнать, так называемый "угол", не обязательно изображать прямые, можно вычислить. Как это делается, ответит эта статья. Прямой и векторного уравнения

Всей прямой можно представить в виде вектора, который начинается в -? и заканчивается на +?. Когда этот вектор проходит через некоторую точку пространства. Таким образом, все вектора, которые можно провести между двумя точками на прямой, будут параллельны друг другу. Это определение позволяет задать уравнение прямой в векторной форме:

(x; y; z) = (x0; 0; z0) + ?*(a; b; c)

Здесь вектор с координатами (a; b; c) является направляющим для прямой, которая проходит через точку (x0; 0; z0). Параметр ? позволяет переводить точки, указанной в любом другом, для этой прямой. Это уравнение является интуитивно понятным и легко работать в трехмерном пространстве, и на плоскости. Плоскость не будет содержать координаты z и в-третьих компонентов направляющий вектор.

Удобство выполнения расчетов и изучения взаимного положения прямых благодаря использованию векторного уравнения следует, что известен ее направляющий вектор. Его координаты используются для вычисления угла между прямой и расстояния между ними. Общее уравнение прямой на плоскости

Писать явно векторного уравнения прямой для случая двумерной. Имеет вид:

x = x0 + ?*a;

и = и0 + ?*b

Теперь вычисляем для каждого из равенства параметра ? и private правой части равенств:

? = (x - x0)/a;

? = (y - y0)/b;

(x - x0)/a = (y - y0)/b

Раскрывая скобки и перенося все члены в одну сторону равенства, получаем:

1/a*x +(-1/b)*и+и0/(b - x0/a = 0 =>

A*x + B*y + C = 0, где A = 1, B = -1/b, C = 0/b - x0/

Полученное выражение называется общим уравнением прямой, указанной в двухмерном пространстве (в трех измерениях это уравнение соответствует параллельный оси z плоскости, а не прямой).

Если в этом выражении явно записать и через х, получается следующим образом, известно, на каждого ученика:

y = k*x + p, где k = -A/B, p = -C/B

Это линейное уравнение однозначно определяет на плоскости прямую. Строит свое знаменитое уравнение очень просто, для этого вам нужно по очереди положить x = 0 и y = 0, отметим точки в системе координат, и провести прямую, соединив полученные точки. Формула угла между прямыми

На плоскости две прямые могут пересекаться, или быть параллельными между собой. В пространстве этих параметров, добавляется также возможность наличия пишите прямо. Какой бы вариант взаимного положения этих одномерных геометрических объектов не был реализован, угол между ними всегда можно определить по следующей формуле:

? = arccos(|(v1*v2)|/(|v1|*|v2|))

Где v1 и v2 являются векторами, направляющие линии 1 и 2, соответственно. В числителе стоит модуль скалярное произведение, чтобы исключить углы тупые и иметь в виду только острые.

Вектор v1 и v2 можно указать двух или трех координат, формула для угла ? остается неизменным. Параллельность и перпендикулярность прямых

Если вычисленное по формуле выше, угол между 2 прямыми равен 0или, говорят, что они параллельны. Чтобы определить параллельные прямые или нет, можно определить угол ?, достаточно, чтобы доказать, что это направляющий вектор может быть представлен через тот же вектор другой прямой, то есть:

v1 = q*v2

Здесь q - действительное число.

Если в уравнениях прямой определить как:

и = k1*x + p1,

и = k2*x + p2,

что параллельно будут только тогда, когда равны коэффициенты при x, то есть:

k1 = k2

Чтобы доказать этот факт можно, если мы имеем в виду, как выражается коэффициент k через координаты направляющего вектора прямой.

Если угол пересечения между прямыми равен 90o, то они называются перпендикулярными. Для определения перпендикулярные прямые, не нужно вычислить угол ?, для этого достаточно рассчитать только скалярное произведение векторов v1 и v2. Должно быть равно нулю.

В случае не пишите прямых в пространстве формулы для угла ? также может быть использован. Необходимо интерпретировать полученный результат. Рассчитанный ? указывает величину угла между направляющими векторами прямых, которые не пересекаются и не являются параллельными. Задача № 1. Перпендикулярные прямые

Известно, что уравнения прямых имеют вид:

(x; y) = (1; 2) + ?*(1; 2);

(x; y) = (-4; 7) + beta*(-4; 2)

Необходимо определить, являются ли прямые перпендикулярными.

Как уже упоминалось выше, для ответа на вопрос, достаточно выполнять вычисления скалярного произведения векторов направляющих, которые соответствуют координаты (1; 2) и (-4; 2). У нас есть:

(1; 2)*(-4; 2) = 1*(-4) + 2*2 = 0

Так как мы получили 0, то это означает, что откосы не прямые пересекаются под прямым углом, то есть перпендикулярно друг к другу. Задача № 2. Угол пересечения прямых

Известно, что два уравнения для прямых имеют следующий вид:

y = 2*x - 1;

y = -x + 3

Необходимо найти угол между прямыми.

Поскольку коэффициенты при x равны по величине, эти прямые не параллельны. Чтобы найти угол, который образуется при их пересечении, становимся каждого уравнения на векторы.

Для первой прямой, получаем:

(x; y) = (x-2*x - 1)

В правой части равенства мы имеем вектор координат, которые зависят от x. Представим в виде суммы двух векторов, координаты первой переменной будет содержать x, y-координаты второй, будет состоять только из цифр:

(x; y) = (x-2*x) + (0; - 1) = x*(1; 2) + (0; - 1)

Поскольку x принимает произвольные значения, можно заменить на параметр ?. Векторное уравнение первой прямой принимает вид:

(x; y) = (0; - 1) + ?*(1; 2)

Те же действия, что мы со вторым уравнение прямой, получаем:

(x; y) = (x; -x + 3) = (x,- x) + (0; 3) = x*(1; -1) + (0; 3) =>

(x; y) = (0; 3) + beta*(1; -1)

Мы переписали в векторном виде в исходное уравнение. Теперь можно использовать формулу для угла пересечения, поставив в ней координаты направляющих векторов прямых:

(1; 2)*(1; -1) = -1;

|(1; 2)| = ?5;

|(1; -1)| = ?2;

? = arccos(|-1|/(?5*?2)) = 71,565или

Таким образом, прямые пересекаются под углом 71,565или, или 1,249 радианах.

Эту задачу можно решить другим способом. Для этого берут две произвольные точки каждой прямой, взять их направляющие вектора, а затем использовать формулу для ?. Автор: Валерий Савельев 15 Ноября 2018 года

Категория: Культура