Формула для угла между плоскостью и прямой линией. Примеры использования формулы
Опубликованно 09.03.2019 02:45
Знание углов между плоскостями и линиями, необходимые при изучении свойств трехмерных форм, таких как пирамиды или призмы. Чтобы рассчитать этот угол не сложно. Достаточно знать уравнения прямой и плоскости и соответствующие формулы. Рассмотрим вопрос о нахождении отмеченный угол в статье. Математическое описание прямой и плоскости
Оба геометрических объекта, упомянутого в названии элемента описывается уравнениями различных типов. Здесь мы не будем приводить их все, но только характеризуют выражение вектора прямой и общее уравнение плоскости, поскольку эти уравнения удобно использовать при вычислении угла между прямой и плоскостью.
Уравнение в векторной форме для прямой линии в трехмерном пространстве имеет следующий вид:
(х; у; Z) и = (Х0; У0; z от0) + ? * (А; Б; в)
Первое слагаемое в скобках некоторые известные точки, принадлежащей прямой линии. Второй срок - координаты вектор, направленный вдоль прямой линии. Этот параметр ? может принимать любые числовые значения, тем самым вычисляет координаты всех точек линии.
Общее уравнение плоскости определяется так:
А * х + В * У + С * З + Д = 0
Большие латинские буквы-это определенное фиксированное число. Преимущество этой формы письменности в сравнении с другими видами выражения для самолета заключается в том, что это полезно для нахождения координат вектора, перпендикулярного к этому двумерный объект. Эти координаты равны:
Н(А; Б; В)
Записанный вектор является нормальным или рельсы на самолет.
Обратите внимание, что знание этого вектора позволяет записать семейство параллельных плоскостей, которые бесплатно Д. чтобы однозначно определить плоскость, в дополнение к N, вам необходимо знать еще один момент, принадлежащие ему. Прямая линия и плоскость в пространстве
Вычисление угла между прямой и плоскостью может быть осуществлено, если вы понимаете, какие варианты существуют в принципе во взаимном расположении этих объектов. Этих варианта всего три: видео по плоскости, параллельной, но это не так; все точки прямой и точки плоскости; видео с плоскости пересекаются.
Первые два варианта соответствуют углом 0о. между геометрическими объектами. В случае пересечения угол отличен от нуля, но всегда меньше или равен правому углу. Если пересечение плоскости и прямой линии в одной точке угол 90о, то они считаются перпендикулярно.
На рисунке выше, прямой линии и плоскости расположены параллельно друг другу, как на схеме ниже они пересекаются.
Формула угла между прямой и плоскостью
Получите формулу для величины в целом. Для этого снова напишите уравнений прямой и плоскости:
(х; у; Z) и = (Х0; У0; z от0) + ? * (А; Б; в);
А * х + В * У + С * З + Д = 0
Предположим для простоты, что прямая плоскость пересекает. По определению, угол между ними-это угол между этой линией и ее проекцией на плоскость. Чтобы получить проекции, достаточно опустить перпендикуляр из произвольной точки прямой на плоскости, а затем с помощью получившейся точки на плоскости и точки пересечения провести прямую линию. На картинке изображен ниже, где ? обозначен символ с нужным углом.
Изображение также показывает вектор направления прямой V и нормальной Н, наблюдаемый угол ? между ними. На рисунке видно, что эти углы связаны друг с другом выражением:
? + ? = 90о
Как найти ?, сможет ответить любой студент, знакомый со свойствами скалярного произведения. Это достаточно, чтобы вычислить его и поделить на произведение модулей соответствующих векторов, т. е.:
соѕ(?) = |(п * В)| / (|Н| * |в|)
Обратите внимание, что в числителе-модуль работает. Это позволяет только на углы перекрестка.
Из тригонометрических формул, мы знаем следующее равенство:
соѕ(?) = соѕ(90о - ?) = грех(?)
Тогда искомый угол может быть вычислен по формуле:
? = вычислить arcsin(|(п * В)| / (|Н| * |в|)
Если мы подставим координаты векторов записаны выше линии и плоскости, мы получим окончательную формулу:
? = вычислить arcsin(|(А * А + Б * б + с * C)| / (?(а2 + в2 + С2) * ?(а2 + в2 + с2))
Покажет вам, как использовать его при решении задач. Плоскость и прямая и угол их пересечения
Нужно найти угол между прямой и плоскостью, заданной выражениями:
(х; г; з) = (1; 1; 0) + ? * (2; -1; 3);
х + у - 2z паза + 1 = 0
Учитывая формулу ? полезна, если вы вычислить модуль векторы и их скалярное произведение. Сделать это:
Н(1; 1; -2);
в(2; -1; 3);
(н * в) = ((1; 1; -2) * (2; -1; 3)) = -5;
|П| = ?(1 + 1 + 4) = ?6;
|в| = ?(4 + 1 + 9) = ?14
Теперь эти значения можно подставить в формулу для ?:
? = арксинуса(|-5| / (?6 * ?14)) = 33,06о
Таким образом, мы показали, что плоскость и прямая пересекаются, а угол между ними равен примерно 33часов. Пересечение линии координатных плоскостей
Теперь решить эту проблему. Учитывая видео, который определяется следующим образом:
(х; г; з) = (1 ; 0 ; 0 ) + ? * (2; 0; -1)
Вам нужно найти углы ее пересечения с трех координатных плоскостей.
Первый шаг-это математически записать выражения для этих самолетов. Они имеют вид:
х = 0 (плоскость YZ);
г = 0 (плоскость XZ);
для z = 0 (плоскость XY)
Для каждого из них записать координаты нормального вектора:
Н(1; 0; 0) для x = 0;
н(0; 1; 0) для Y = 0;
н(0; 0; 1) для z = 0
Видно, что длина всех нормальных векторов равны единице. Найти скалярное произведение для каждого из них с направляющего вектора прямой:
для Х = 0: ((2; 0; -1) * (1; 0; 0)) = 2;
для г = 0: ((2; 0; -1) * (0; 1; 0)) = 0;
для z = 0: ((2; 0; -1) * (0; 0; 1)) = -1
Руководство модуль для прямой вектор:
|(2; 0; -1)| = ?5
Подставим вычисленные значения в формулу, мы получаем углы:
с x = 0: ? = арксинуса(|2| / ?5) ? 63,4о;
с Y = 0: ? = арксинуса(|0| / ?5) =0о;
с z = 0: ? = арксинуса(|-1| / ?5) ? 26,6о
Таким образом, указанное видео будет только пересечь плоскость YZ и XY и плоскости XZ это параллельно. Автор: Валерий Савельев 18 ноября 2018
Категория: Культура
