Формула для определения расстояния от точки до плоскости и от точки до прямой

Опубликованно 13.03.2019 12:10

Знание расстояния от точки до плоскости или на прямой позволяет вычислить объем и площадь поверхности фигур в пространстве. Расчет этого расстояния в геометрии осуществляется с использованием уравнений для одного из геометрических объектов. В этой статье мы покажем, с помощью каких формул можно определить. Уравнения прямой и плоскости

Прежде чем привести формулу для определения расстояния от точки до плоскости и до прямой, мы покажем, как уравнения, описывающие эти объекты.

Для определения точки используется набор координат в системе осей. Здесь мы рассмотрим только декартова, прямоугольная, система, в которой оси имеют те же отдельные векторы, и взаимно перпендикулярны. На плоскости произвольная точка описывается двумя координатами, в пространстве - три.

Для определения прямой используют различные типы уравнений. В соответствии с темой статьи, чтобы назвать только два из них, которые применяются в двухмерном пространстве для сауну и.

Уравнение векторное. Имеет следующую форму записи:

(x; y) = (x0; y0 ) + ?*(a; b).

Первый член представляет координаты точки, лежащей на прямой. Второй член-это координаты направляющего вектора, умноженной на произвольное число ?.

Уравнение общего вида. Его форма записи такая:

A*x + B*y + C = 0;

где A, B, C - некоторые коэффициенты.

Общее уравнение наиболее часто используется, чтобы определить план, тем не менее, для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости удобнее работать с вектором экспрессии.

Плоскость в трехмерном пространстве вы даже можете записать несколько математических способов. Однако часто в задачах встречается уравнение общего вида, которое записывается так:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Преимущество этой формы записи, по сравнению с другими является то, что он явно содержит координаты вектора, перпендикулярного плоскости. Этот вектор называется направляющим для нее, совпадает с направлением нормали, и его координаты равны (A; B; C).

Обратите внимание, что это выражение совпадает с формой записи общее уравнение прямой в двухмерном пространстве, то решение проблемы вы должны быть осторожны, чтобы не путать эти геометрические объекты. Расстояние между точкой и прямой

Покажем, как можно рассчитать расстояние между прямой и точкой в двухмерном пространстве.

Пусть имеется некоторая точка Q(x1; y1) и прямой определяется выражением:

(x; y) = (x0; y0 ) + ?*(a; b).

Под расстояние между прямой и точкой понимать длину перпендикуляра к этой прямой, отрезка, опущенного на нее из точки Q.

Прежде чем рассчитать это расстояние, нужно заменить координаты Q в этом равенство. Если они будут в состоянии удовлетворить, следовательно, Q принадлежит это право, и расстояние равно нулю. Если координаты точки не приносят соблюдать равенство, то расстояние между геометрическими объектами, отличное от нуля. Вы можете рассчитать по формуле:

d = |[PQ*u]|/|u|.

Здесь P - произвольной точкой прямой, которая является началом вектора PQ. Вектор u является руководством отрезок прямой, то ее координаты равны (a; b).

Использование этой формулы предполагает возможность вычислить векторное произведение, стоящее в числителе.

Задача с точкой и прямой

Допустим, что необходимо найти расстояние между Q(-3; 1) и прямой, удовлетворяет уравнению:

y = 5*x -2.

Подставляя координаты Q в выражении, вы можете проверить, что Q на прямой не лежит. Применяется как сообщалось, на предыдущем шаге формулу для d, если представить это уравнение в векторной форме. Сделаем следующим образом:

(x; y) = (x; 5*х -2) =>

(x; y) = (x; 5*x) + (0; -2) =>

(x; y) = x*(1; 5) + (0; -2) =>

(x; y) = (0; -2) + ?*(1; 5).

Теперь берем любой точки этой прямой, например (0; -2), и строим вектор с началом в себе, и заключение, к Q:

(-3; 1) - (0; -2) = (-3; 3).

Теперь применяем формулу для определения расстояния, получаем:

d = |[(-3; 3)*(1; 5)]|/|(1; 5)| = 18/?26 ? 3,53. Расстояние точки от плоскости

Как и в случае с правом, с расстоянием между плоскостью и точкой в пространстве понимают длину отрезка, что с этой точки опущен перпендикуляр на плоскости и пересекает ее.

В пространстве точка задается тремя координатами. Если они равны (x1; y1, z1), то расстояние между плоскостью и этой точки можно рассчитать по формуле:

d = |A*x1 + B*y1 + C*z1 + D|/?(A2+B2+C2).

Отметим, что использование формулы, которая позволяет не только найти расстояние от плоскости до прямой. Для того, чтобы найти координаты точки, в которой перпендикулярно сегмент пересекает плоскость, необходимо составить уравнение прямой, которой этот участок принадлежит, и затем найти общую точку на этой прямой и заданной плоскости. Вызов с плана и точки

Чтобы найти расстояние точки от плоскости, если известно, что точка имеет координаты (3; -1; 2), и план, который определяется выражением:

-y + 3*z = 0.

Для того, чтобы получить доступ к формуле, сначала пишем отчеты за определенный план. Поскольку переменная x и свободный член отсутствует, то коэффициенты A и D равны нулю. У нас есть:

A = 0; B = -1; C = 3; D = 0.

Легко доказать, что эта плоскость проходит через исходную точку и ось х она принадлежит.

Подставляем координаты точки и коэффициенты плоскости в формулу для расстояния d, получаем:

d = |0*3 + (-1)*(-1) + 2*3 + 0|/?(1 +9 ) = 7/?10 ? 2,21.

Обратите внимание, что если вы измените координату х точки, расстояние d не меняется. Этот факт означает, что множество точек (х; -1; 2) форму прямой, параллельной заданной плоскости. Автор: Валерий Савельев 15 Ноября 2018 года

Категория: Культура