Общее уравнение прямой на плоскости, в пространстве

Опубликованно 17.04.2019 07:50

В геометрии точка, прямая линия, возможно, это самый простой элемент. Его использование во время построения всех сложных форм на плоскости и в трехмерном пространстве. В этой статье мы рассмотрим общее уравнение прямой и решим несколько задач с ее использованием. Для того, чтобы начать! Прямая линия в геометрии

Все знают, что такие формы, как прямоугольник, треугольник, призма, куб и так далее образованных пересекающимися прямыми линиями. Под прямой в геометрии считается объект одномерный, который может быть получен посредством передачи определенной точки, чтобы иметь то же самое или противоположное направление вектора. Чтобы лучше понять это определение, мы скажем, что точка P в пространстве. Возьмем произвольный вектор u в этом пространстве. Тогда каждая точка Q может быть получена в результате следующих математических операций:

Q = P + ?*u.

Здесь ?-произвольное число, что может быть положительным и отрицательным. Если равенство выше записать через координаты, получаем следующее уравнение прямой:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + ?*(a, b, c).

Это равенство называется уравнением прямой в векторной форме. И вектор u называется руководство. Общее уравнение прямой на плоскости

Каждый школьник, без каких-либо трудностей, можно записать. Но часто уравнение записывается так:

y = k*x + b.

, Где k и b - произвольные числа. Число b называется свободным членом. Параметр k равен changes угол, образованный от пересечения прямой с осью абсцисс.

Приведено уравнение, выраженное относительно переменной y. Если же представить их в самом общем виде, то получим следующую форму записи:

A*x + B*y + C = 0.

Не трудно показать, что эта форма записи общего уравнения прямой на плоскости легко преобразован в предыдущий вид. Для этого левую и правую части должны быть разделены на коэффициент B и выразить y.

Выше на рисунке показана прямой, проходящей через две точки. Прямая в трехмерном пространстве

Мы продолжаем наше изучение. Мы рассмотрели вопрос, как задано на плоскости, уравнение прямой в общем виде. Если мы сообщали в предыдущем пункте статьи, регистрационную форму доступна для случая, что вы получите? Все просто - уже не прямая линия и плоскость. На самом деле, следующее выражение описывает плоскость, которая является параллельной оси z:

A*x + B*y + C = 0.

Если C=0, то такая плоскость проходит через ось z. Это является важной особенностью.

Как быть тогда с уравнения прямой в пространстве? Для того, чтобы понять, как установить нужно вспомнить что-то. Две плоскости пересекаются по некоторой прямой линии. Что это значит? Только, что общее уравнение-это результат решения системы двух уравнений для самолетов. Пишем этой системы: A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0; В2*х + B2*y + C2*z + D2 = 0.

Эта система является общим уравнением прямой в пространстве. Обратите внимание на то, что план не должны быть параллельны друг другу, то есть их нормальные векторы должны быть наклонены под определенным углом относительно друг друга. В противном случае система не будет иметь решений.

Выше мы дали вектор формы записи уравнения прямой линии. Его полезно для решения этой системы. Чтобы сделать это, вы должны сначала найти векторное произведение нормалей данных плоскостей. Результатом этой операции будет вектор прямой. Таким образом, необходимо рассчитать каждый шаг, прямое владение. Для этого необходимо поставить любой из переменных равна значению, две оставшиеся переменные, мы должны решить системную таблицу. Как перевести векторное уравнение в целом? Нюансы

Это реальная проблема, которая может возникнуть, если вы должны написать общее уравнение прямой по известным координатам двух точек. Покажем, как решается эта задача, например,. Пусть координаты двух точек: P = (x1, y1); Q = (x2, y2 ).

Уравнение в векторной форме заполнить достаточно просто. Координаты вектора равны:

PQ = (x2-x1, y2-y1).

Обратите внимание, что нет никакой разницы, если от точки с координатами P вычесть координаты Q, вектор только изменить его направление противоположно. Теперь они должны принять в любой момент и записать векторное уравнение:

(x, y ) = (x1, y1) + ?*(x2-x1, y2-y1).

Для того, чтобы написать общее уравнение прямой, вы должны выразить в обоих случаях параметр ?. А затем приравнять полученные результаты. У нас есть:

x = x1 + ?*(x2-x1) => ? = (x-1)/(x2-x1);

y = y1 + ?*(y2-y1) => ? = (y-y1)/(y2-y1) =>

(x-1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1).

Остается только открыть скобки и вывести все термины, уравнения в одну сторону равенства, чтобы получить общее выражение для прямой, проходящей через две известные точки.

В случае трехмерной задачи алгоритм решения сохраняется только в результате получится система двух уравнений для самолетов. Задача

Нужно составить общее уравнение прямой, которая пересекает ось x в точке (-3, 0), и которая параллельна оси y.

Начнем решение задачи с составления уравнений в векторной форме. Так как прямая параллельна оси ординат, направляющие для нее, вектор будет выглядеть следующим образом:

u = (0, 1).

Тогда искомая непосредственно ввести в уравнение:

(x, y) = (-3, 0) + ?*(0, 1).

Теперь перевести это выражение в общем виде, для этого оставьте параметр ?: х = -3; y = ?.

Таким образом, любое значение переменной y принадлежит прямой, однако, только значение переменной x соответствует. В общем виде уравнение принимает вид:

х + 3 = 0. Задача с прямой в пространстве

Известно, что две пересекающиеся плоскости заданы следующие уравнения: 2*x + y - z = 0; x - 2*y + 3 = 0.

Необходимо найти уравнение прямой вектор, по которой плоскости пересекаются. Вы прогресса.

Как уже было сказано, общее уравнение прямой в трехмерном пространстве мы уже определен как система двух с тремя неизвестными. Прежде всего, определяем вектор направления, по которым плоскости пересекаются. Умножая векторно координаты нормалей к плоскостям, получаем:

u = [(2, 1, -1)*(1, -2, 0)] = (-2, -1, -5).

Потому что умножение вектора на отрицательное число, изменить его направлении, вы можете написать:

u = -1*(-2, -1, -5) = (2, 1, 5).

Для того, чтобы найти вектор экспрессии по прямой, в дополнение к руководству перевозчика, вы должны знать какой-то точки этой прямой. Найти, потому что ее координаты должны удовлетворять системе уравнений в условии задачи, мы найдем их. Положим, например, х = 0, вы получите:

y = z;

y = 3/2 = 1,5.

Таким образом, принадлежащая прямой, и точка имеет координаты:

P = (0, 1,5, 1,5).

Тогда мы получим ответ на эту задачу, уравнение, вектор прямой будет иметь вид:

(x, y, z) = (0, 1,5, 1,5) + ?*(2, 1, 5).

Правильность решения можно проверить легко. Для этого вам необходимо выбрать произвольное значение параметра ? и подставить полученные координаты точки прямой в оба уравнения для самолетов, вы получите удостоверения в обоих случаях.

Валерий Савельев

Категория: Культура