Расчет угла между прямой и плоскостью. Координатор метод решения проблемы

Опубликованно 29.05.2019 00:15

Среди распространенных стереометрии задачи на пересечение прямых линий и плоскостей и на вычисление угла между ними. Мы рассмотрим в этой статье подробнее так называемый координатор метод и углы между прямой и плоскостью. Прямой и плоскости геометрия

Прежде чем рассматривать координатор метод и угол между прямой и плоскости, следует ознакомиться с этими геометрическими объектами.

Прямая-это множество точек в пространстве или на плоскости, каждая из которых может быть получена линейная восстановления предыдущего на вектор. Давайте обозначим этот вектор символом u. Если этот вектор умножить на число, не равное нулю, мы получим параллельный u вектор. Прямой линейной бесконечности объекта.

План-это набор точек, которые расположены таким образом, что если один из них быть произвольного вектора, то они будут перпендикулярны к вектору n. последний называется нормально или просто нормальные. План, в отличие от прямой, двумерный бесконечный объект. Координатор метод решения проблемы геометрии

Исходя из названия метода, можно сделать вывод, что это метод решения проблемы, который основан на проведении анализа последовательных вычислений. Другими словами, координатор метод позволяет решить проблемы геометрии с помощью универсальных инструментов алгебры, в том числе основного уравнения.

Следует отметить, что метод появился на заре зарождения современной геометрии и алгебры. Большой вклад в ее развитие внесли Рене Декарт, Пьер Ферма, Исаак Ньютон и Лейбниц в XVII-XVIII веке.

Суть метода заключается в проведении вычисления расстояний, углов, площадей и объемов геометрических, основываясь на координаты известных точек. Обратите внимание, что форма квитанции сводка уравнений зависит от системы координат. Чаще всего в задачах применяют прямоугольные прямоугольные, системы, так как удобнее всего работать. Уравнение прямой

Рассмотрение координат метод и углы между прямой и плоскостью начать с работы уравнения прямой. Существует несколько способов представить в виде простой прямоугольной. Здесь рассмотрим только вектор уравнение, поскольку он может быть легко получить любой другой форме, и легко работать.

Предположим, что существуют две точки P и Q. Известно, что, благодаря им, вы можете перейти непосредственно, и это будет только. Соответствующие математические представления элемента является следующим:

(x, y, z) = P + ?*PQ.

Где PQ-это вектор, координаты которого являются следующие:

PQ = Q - P.

Символ ? обозначает параметр, который может принимать любое количество.

В первое выражение, вы можете изменить направление вектора, и вместо точки P подставить координаты Q. Все эти преобразования не приводят к изменению геометрии прямой.

Обратите внимание, что при решении задач иногда необходимо представить в явном виде (параметрический) зарегистрировано векторное уравнение. Задание плоскости в пространстве

Как и для прямой, существует плоскость, различные формы математических уравнений. Среди них, отметим, векторное уравнение в отрезках и внешний вид в целом. В этой статье уделим внимание последней форме.

Общее уравнение произвольной плоскости может быть записано так:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Латинские прописные буквы-это некоторые числа, определяющие план.

Удобство этой формы заключается в том, что они включают явно нормального к плоскости вектора. Он равен:

n = (A, B, C).

Знание этого вектора позволяет, глядя часто на уравнение плоскости, представить место последнего в системе координат. Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости

В следующем пункте статьи, мы переходим к рассмотрению координат метод и угол между прямой и плоскостью. Здесь даже ответить на вопрос, каким образом пространство могут быть рассмотрены геометрические элементы. Существует три способа: Прямая пересекает плоскость. Применяя координатор метод, можно вычислить, на одну точку пересечения прямой и плоскости. План справа параллельно. В этом случае система уравнений геометрия не имеет решения. Для доказательства, как правило, используют свойство скалярного произведения направляющего вектора прямой и нормального самолета. План содержит прямой. При решении системы уравнений в этом случае, мы приходим к выводу, что, для любого значения параметра ? оказывается правильным равенства.

Во втором и третьем случае, угол между геометрическими объектами, равен нулю. В первом случае, он находится в пределах от 0 до 90o. Вычисление углов между прямыми и планы

Теперь перейдем непосредственно к теме статьи. Любое пересечение прямой и плоскости происходит под некоторым углом. Этот угол, образованный прямой и ее проекцией на плоскость. Проекции можно получить, если из любой точки прямой опустить на плоскость, перпендикулярную, затем через полученную точку пересечения плоскости и перпендикуляра и точку пересечения плоскости и прямое происхождение провести линию, которая будет проекцией.

Вычисление углов между прямыми и планов не является сложной задачей. Для решения достаточно знать уравнения соответствующих геометрических объектов. Допустим, что эти уравнения являются следующие:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + ?*(a, b, c);

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Искавший угол легко, если использовать свойство скалярное произведение векторов u и n. конечной формуле:

? = arcsin(|(u*n)|/(|u|*|n|)).

Эта формула показывает, что синус угла между прямой и плоскостью соотношение между модулем скалярного произведения отмеченных векторов к произведению их длин. Чтобы понять, почему, вместо косинуса появился синус, обратимся к рис. ниже.

Видно, что, если мы применим функцию косинуса, мы получаем угол между векторами u и n. На тот же угол ? (? на рис.), то получается, что:

? = 90o - ?.

Синус появляется в результате применения формул преобразования. Пример задачи

Перейдем теперь к практическому использованию полученных знаний. Решаем типичные задачи на угол между прямой и плоскостью. Вы можете изменить координаты четырех точек:

P = (1, -1, 0);

Q = (-1, 2, 2);

M = (0, 3, -1);

N = (-2, -1, 1).

Известно, что через точки PQM проходит плоскости и прямой MN. Используя координатор метод, угол между плоскостью и прямой, необходимо вычислить.

Для начала запишем уравнение справа и плана. Для прямой сделать это просто:

МИНУТ = (-2, -4, 2) =>

(x, y, z) = (0, 3, -1) + ?*(-2, -4, 2).

Чтобы составить уравнение плоскости, мы сначала находим нормальный. Его координаты равны произведения двух векторов, лежащих в этой плоскости. У нас есть:

PQ = (-2, 3, 2);

QM = (1, 1, -3) =>

n = [PQ*QM] = (-11, -4, -5).

Теперь, в общее уравнение плоскости подиум координаты любой базовой точки, чтобы получить значение свободного члена D:

P = (1, -1, 0);

- (A*x + B*y + C*z) = D =>

D = - (-11 + 4 + 0) = 7.

Уравнение плоскости имеет вид:

11*x + 4*y + 5*z - 7 = 0.

Осталось применить формулу угол, образованный пересечением правой и плана, чтобы получить ответ на задания. У нас есть:

(u*n) = (11, 4, 5)*(-2, -4, 2) = -28;

|u| = ?24; |n| = ?162;

? = arcsin(28/?(162*24)) = 26,68o.

На примере этой задачи, мы показали, как использовать координатор метод решения геометрических задач.

Валерий Савельев

Категория: Культура